On considère la suite arithmétique $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$, et la suite géométrique $(v_n)$ définie par $v_0 = 5$ et de raison $q = 3$.
Une fiche de révision propose, pour une suite arithmétique indexée à partir de $u_0$, la formule $S = \dfrac{n}{2}(u_0 + u_n)$. L'exercice consiste à l'éprouver sur des nombres avant de s'en servir.
1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$, puis leur somme, terme à terme.
2. Appliquer la formule de la fiche avec $n = 4$. Le résultat est-il correct ? Corriger la formule si nécessaire.
3. Calculer la somme $u_1 + u_2 + u_3 + u_4$. Dans quel cas la formule $\dfrac{n}{2}(\text{premier} + \text{dernier})$ est-elle donc valable ?
4. Calculer $v_0 + v_1 + v_2 + v_3 + v_4$ à l'aide de la formule $S_n = v_0\dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$, puis vérifier terme à terme.
5. Que devient cette somme si la raison de la suite géométrique vaut $q = 1$ ?
6. En déduire la somme $1 + 2 + 3 + \dots + 100$.