Décomposer chacune des fractions rationnelles suivantes en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$.
On rappelle la méthode : on écrit d'abord la forme de la décomposition (un terme par facteur du dénominateur, et autant de termes que la puissance du facteur), puis on détermine les coefficients, par exemple par la méthode du cache, par identification ou en donnant à $x$ des valeurs particulières. Il est vivement conseillé de contrôler le résultat en évaluant les deux membres en une valeur simple de $x$.
1. Décomposer $\dfrac{x^2+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}$.
2. Décomposer $\dfrac{x-2}{x^2(x-1)}$.
3. Décomposer $\dfrac{2}{x(x-1)^2}$.
4. Décomposer $\dfrac{3x-1}{x^2(x-1)^2}$.
5. Décomposer $\dfrac{1}{x^3+1}$.
6. Décomposer $\dfrac{x-2}{x^4-1}$.