Lycée · Mathématiques

Suite arithmétique des nombres pairs : terme général et somme

On considère la suite arithmétique dont les premiers termes sont : 2, 4, 6, 8, …

On note $a$ son premier terme, $d$ sa raison, $a_n$ son terme de rang $n$ et $S_n$ la somme de ses $n$ premiers termes. On rappelle :

  • $a_n = a + (n-1)d$
  • $S_n = \dfrac{n}{2}\,[\,2a + (n-1)d\,]$ ou encore $S_n = \dfrac{n}{2}\,(a + \ell)$, où $\ell$ désigne le dernier terme additionné.

  1. Déterminer le premier terme $a$ et la raison $d$ de cette suite.

  2. Exprimer $a_n$ en fonction de $n$, puis calculer $a_{20}$.

  3. Calculer $S_{20}$ à l'aide de la formule $S_n = \dfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$.

  4. Retrouver ce résultat avec la seconde formule $S_n = \dfrac{n}{2}(a+\ell)$.

  5. Le nombre 2026 est-il un terme de cette suite ? Si oui, quel est son rang ?

  6. À partir de quel rang $n$ la somme $S_n$ dépasse-t-elle 1000 ?