On considère le polynôme $P(x) = 2x^2 - 7x + 3$.
Les questions s'enchaînent : chaque résultat sert au suivant. On rappelle que pour une équation $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$, les racines sont données par $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, la somme des racines vaut $-\dfrac{b}{a}$ et leur produit $\dfrac{c}{a}$.
1. Identifier $a$, $b$ et $c$, puis calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Que peut-on en déduire sur le nombre de racines réelles ?
2. Calculer les deux racines de $P$.
3. Vérifier ces racines à l'aide de la somme et du produit.
4. En déduire la forme factorisée de $P(x)$, puis la développer pour contrôler.
5. Résoudre l'inéquation $P(x) < 0$.
6. Le polynôme $Q(x) = x^2 + 9$ peut-il se factoriser en un produit de deux facteurs du premier degré à coefficients réels ? Justifier de deux façons.