Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives :
$z_A = 1$, $z_B = 4$, $z_C = 4 + 3i$, $z_D = 1 + 3i$.
Toutes les questions se traitent en calculant des différences d'affixes, puis leur module (une longueur) ou leur argument (un angle).
1. Calculer $z_B - z_A$ et $z_D - z_A$, puis le quotient $\dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$. En déduire la nature du triangle $ABD$.
2. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
3. En déduire que $ABCD$ est un carré.
4. Un camarade affirme : « pour un carré, il suffit que $ABCD$ soit un parallélogramme et que $\left|\dfrac{z_B - z_A}{z_D - z_A}\right| = 1$. » Donner un contre-exemple à l'aide des points $A'(0)$, $B'(5)$, $D'(3 + 4i)$ et $C' = B' + D' - A'$.
5. On remplace chaque affixe $z$ par $2z$. Que deviennent la longueur du côté et l'aire du carré $ABCD$ ?