Lycée · Mathématiques

Développer et factoriser avec les identités remarquables

On rappelle les identités du programme :

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ et $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ et $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$

La méthode est toujours la même : identifier la forme, choisir l'identité qui convient, développer ou factoriser, puis vérifier les signes — au besoin sur un exemple numérique.

1. Développer $A = (3x + 2)^2$.
2. Développer $B = (2x - 5)^2$.
3. Factoriser $C = 25x^2 - 49$.
4. Développer $D = (x + 1)^3$.
5. Factoriser $E = 8x^3 - 27$.
6. Factoriser $F = x^3 + 64$.
7. Deux réels $a$ et $b$ vérifient $a + b = 9$ et $ab = 14$. Calculer $a^2 + b^2$, puis $a^3 + b^3$, sans déterminer $a$ et $b$.
8. Trois réels vérifient $a + b + c = 0$. Démontrer que $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$, puis appliquer avec $a = 1$, $b = 2$ et $c = -3$.