Lycée · Mathématiques

Puissances et radicaux : appliquer les règles de calcul

On rappelle les règles de calcul suivantes, valables pour $a \neq 0$, $b \neq 0$ et, pour les radicaux, pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

$a^m \times a^n = a^{m+n}$ et $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
$(a^m)^n = a^{mn}$ et $(ab)^n = a^n b^n$
$a^0 = 1$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ et $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$
$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$ et $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (avec $b > 0$)

Simplifier chacune des expressions suivantes en justifiant la règle employée.

Simplifier $A = \dfrac{3^7 \times 3^{-2}}{3^3}$.
Simplifier $B = \left(2^3\right)^2 \times 2^{-4}$.
Calculer $C = 8^{1/3} + 16^{1/2} - 5^0$, en précisant pourquoi $5^0 = 1$.
Écrire $D = \sqrt{50} - \sqrt{18}$ sous la forme $k\sqrt{2}$, où $k$ est un entier.
Développer $E = \left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right)^2$.
Calculer $F = \left(\sqrt{7} + \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{7} - \sqrt{2}\right)$, puis rendre rationnel le dénominateur de $G = \dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{2}}$.
L'égalité $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$ est-elle valable pour $a = -4$ et $b = -9$ ? Justifier.