Cet exercice reprend, dans l'ordre, les quatre outils algébriques de base : les identités remarquables, l'équation du second degré, les propriétés du logarithme et la suite arithmétique.
Formules utiles. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ; $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ; $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Pour $a \neq 0$, l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ a pour discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et, si $\Delta \geq 0$, pour racines $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Pour $x > 0$, $y > 0$, $a > 0$ et $a \neq 1$ : $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, $\log_a\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$, $\log_a(x^n) = n\log_a x$. Suite arithmétique de premier terme $a$ et de raison $d$ : $a_n = a + (n-1)d$ et $S_n = \dfrac{n}{2}\left[2a + (n-1)d\right]$.
1. Développe $(2x + 3)^2$ et $(2x - 3)(2x + 3)$. Un élève affirme que $(2x+3)^2 = 4x^2 + 9$ : montre par un exemple numérique que c'est faux.
2. Calcule sans poser d'opération : $101 \times 99$, puis $47^2 - 43^2$.
3. Pourquoi impose-t-on $a \neq 0$ dans $ax^2 + bx + c = 0$ ? Que devient l'équation si $a = 0$ ?
4. Résous $2x^2 - 7x + 3 = 0$ en détaillant le calcul du discriminant.
5. Étudie de même $x^2 - 6x + 9 = 0$ puis $x^2 + x + 1 = 0$. Conclus sur le rôle du signe de $\Delta$.
6. En base 10, calcule $\log(1000) - \log(10)$, puis $\log_2(8)$ sachant que $\log_2(2) = 1$. Un élève écrit $\log(x + y) = \log x + \log y$ : réfute-le.
7. On considère la suite arithmétique $3\,;\ 7\,;\ 11\,;\ 15\,;\ \dots$ Donne sa raison, son 10e terme, puis la somme de ses 20 premiers termes.
8. Retrouve la somme $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ à l'aide de la formule, puis explique le raisonnement d'appariement qui donne le même résultat.