Cet exercice fait travailler, chapitre par chapitre, les formules du programme : nombres complexes, second degré, dérivation, intégration, géométrie du plan et de l'espace, suites et probabilités. Chaque partie est indépendante des autres et se traite avec une seule formule bien choisie, appliquée à des valeurs numériques que l'on peut vérifier.
Une consigne vaut pour tout l'exercice : après chaque calcul, contrôler le résultat — en dérivant une primitive, en remplaçant une solution dans l'équation de départ, en additionnant à la main les termes d'une somme. C'est ce réflexe, plus que la mémoire des formules, qui évite les erreurs.
Partie A — Nombres complexes. Soit $z=3-4i$. Calculer $\bar{z}$, puis $|z|$, puis le produit $z\bar{z}$. Vérifier sur cet exemple la propriété $z\bar{z}=|z|^{2}$.
Partie B — Second degré. Résoudre $2x^{2}-5x+2=0$, puis l'inéquation $2x^{2}-5x+2\leq 0$.
Partie C — Dérivation. Soit $f(x)=x^{3}-3x$. Calculer $f'(x)$, dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$, puis expliquer pourquoi l'affirmation « $f'(x_{0})=0$ équivaut à un extrémum en $x_{0}$ » est fausse en général.
Partie D — Intégration. Calculer $\displaystyle\int_{1}^{2}2x\,dx$, $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx$ et $\displaystyle\int_{1}^{4}\dfrac{dx}{\sqrt{x}}$. Préciser à chaque fois la primitive utilisée et la vérifier par dérivation.
Partie E — Géométrie du plan. On donne $(D_{1}):2x+3y-1=0$ et $(D_{2}):3x-2y+5=0$. Ces droites sont-elles perpendiculaires ? Sécantes ? Écrire ensuite $(D_{1})$ sous forme réduite.
Partie F — Géométrie de l'espace. Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(2\,;\,-3\,;\,6)$ et $\vec{v}(1\,;\,2\,;\,3)$, ainsi que le plan $(P):x+2y+3z-6=0$. Calculer $\|\vec{u}\|$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}$. La droite de vecteur directeur $\vec{u}$ passant par $A(1\,;\,1\,;\,1)$ est-elle parallèle à $(P)$ ?
Partie G — Suites et probabilités. 1) Une suite arithmétique a $u_{0}=1$ et $r=1$ : calculer $u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}$ de deux façons. 2) Une suite géométrique a $u_{0}=3$ et $q=\dfrac{1}{2}$ : calculer la limite de la somme de ses termes. 3) On donne $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}6$, $P(A\cap B)=0{,}3$ : calculer $P(A\cup B)$, $P_{A}(B)$, et dire si $A$ et $B$ sont indépendants.