Cet exercice parcourt les fonctions usuelles du programme : affine, quadratique, rationnelle, trigonométriques, exponentielle, logarithme et valeur absolue. Pour chaque partie, on demande d'identifier la famille de la fonction, d'en dresser le tableau de variations et d'en préciser les éléments caractéristiques (sommet, axe ou centre de symétrie, asymptotes, limites).
Les rappels utiles sont les suivants : pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$, le sommet a pour abscisse $-\dfrac{b}{2a}$ ; pour $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ avec $c\neq 0$ et $\Delta=ad-bc\neq 0$, la dérivée vaut $\dfrac{\Delta}{(cx+d)^2}$, les asymptotes sont $x=-\dfrac{d}{c}$ et $y=\dfrac{a}{c}$, et le centre de symétrie est $\Omega\left(-\dfrac{d}{c}\,;\,\dfrac{a}{c}\right)$.
Partie A — Fonction affine. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-4x+7$. Donner le sens de variation de $f$ en le justifiant, puis calculer $f(0)$ et $f(2)$. Que représente graphiquement la courbe de $f$ ?
Partie B — Fonction quadratique. Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x^{2}-8x+3$. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole, l'équation de son axe de symétrie, puis dresser le tableau de variations de $g$.
Partie C — Fonction rationnelle. Soit $h$ définie par $h(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$. Déterminer l'ensemble de définition de $h$, calculer $\Delta=ad-bc$, en déduire le sens de variation, puis donner les asymptotes et le centre de symétrie de la courbe.
Partie D — Cas dégénérés. Que devient l'expression $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ lorsque $c=0$ ? Et lorsque $\Delta=ad-bc=0$ ? Illustrer ce second cas avec $k(x)=\dfrac{2x+4}{x+2}$.
Partie E — Fonctions trigonométriques. Sur $[-\pi\,;\,\pi]$, donner les variations de $\cos$ et de $\sin$ ainsi que leurs extremums. Puis, en utilisant la périodicité, calculer $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+4\pi\right)$ et $\cos(-\pi)$.
Partie F — Exponentielle et logarithme. Donner l'ensemble de définition, le sens de variation et les limites aux bornes de $x\mapsto e^{x}$ puis de $x\mapsto \ln(x)$. En déduire les asymptotes de chacune des deux courbes, puis résoudre $e^{x}=1$ et $\ln(x)=0$.
Partie G — Valeur absolue. Soit $v(x)=|x|$, c'est-à-dire $v(x)=x$ si $x\geq 0$ et $v(x)=-x$ si $x<0$. Calculer $v(-7)+v(3)$, dresser le tableau de variations de $v$, puis résoudre $|x|=5$ et $|x|<3$.