Calcul dans R : radicaux, expressions conjuguées et factorisations

1. 1. Montrer que 30/(6 − √6) + √6/(√3 − √2) − 6/(3√2 − 2√3) = 6 + √6.

2. 2. On pose a = (√2 − 1)³ et b = (√2 + 1)³. Montrer que (a + b)³ = 2000√2.

3. 3. Montrer que 1/(10 − 3√11) + 1/(10 + 3√11) = 20.

4. 4. Soient X = 3√7 + √28 − √63 et Y = (√3)⁻⁴ x √18 / (3⁻³ x √6). Montrer que X = 2√7 et Y = 3√3, puis comparer X et Y.

5. 5. En déduire la valeur de (X + Y)(X − Y), puis celle de (X − Y)²⁰²¹ x (X + Y)²⁰²⁰.

6. 6. Factoriser : A = (x − 3)(2x − 1) + x² − 9 ; B = x² − 6x + 8 ; C = (5x + 3)² + (2x − 1)² − (3x + 4)² ; D = x³ + 6x² + 12x + 8 ; E = x³ + (x − 2)² − 8.

7. 7. Soient x et y deux réels tels que x ≥ 1/2, y ≤ 1 et x − y = 3. Calculer A = |2x − 1| + |2y − 2| et B = |x + y − 5| + |x + y + 2|.