Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A. On note, selon l'usage, a = AC le côté opposé au sommet B, b = AB le côté adjacent à l'angle B, et c = CB l'hypoténuse.
On donne a = 5, b = 12 et c = 13. Toutes les réponses seront données sous forme de fractions exactes.
1. Vérifier que le triangle est bien rectangle en A, puis exprimer $\sin \hat{B}$, $\cos \hat{B}$ et $\tan \hat{B}$ sous forme de fractions.
2. En déduire $\cot \hat{B}$, $\sec \hat{B}$ et $\csc \hat{B}$.
3. Vérifier sur ces valeurs les deux identités $\sin^2\hat{B} + \cos^2\hat{B} = 1$ et $1 + \tan^2\hat{B} = \sec^2\hat{B}$. Démontrer ensuite la seconde à partir de la première.
4. Sans calculer la mesure des angles, donner $\sin \hat{C}$ et $\cos \hat{C}$.
5. Calculer $\sin(2\hat{B})$ et $\cos(2\hat{B})$.