Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ les fractions rationnelles suivantes.
On rappelle la méthode du cache : pour un pôle simple $a$, le coefficient de $\dfrac{1}{x-a}$ s'obtient en supprimant le facteur $(x-a)$ du dénominateur puis en évaluant ce qui reste en $x = a$.
Après chaque décomposition, faites un contrôle numérique : remplacez $x$ par une valeur simple qui n'annule pas le dénominateur, et vérifiez que les deux écritures donnent le même nombre.
1) Décomposer $\dfrac{x^2+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}$.
2) Décomposer $\dfrac{x-2}{x^2(x-1)}$.
3) Décomposer $\dfrac{3x-1}{x^2(x-1)^2}$.
4) Décomposer $\dfrac{1}{x^3+1}$.
5) Décomposer $\dfrac{x-2}{x^4-1}$.
6) Décomposer $\dfrac{x^2+2x+5}{x^2-3x+2}$. Attention au degré du numérateur.
7) Décomposer $\dfrac{1}{x^4+x^2+1}$.