On travaille avec les lois des puissances et les règles de calcul sur les racines carrées.
Rappels utiles. Pour $a \neq 0$ et $b \neq 0$ : $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$, $a^0 = 1$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$ ; pour $a \geq 0$ et $b > 0$ : $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ; pour $a \geq 0$ : $(\sqrt{a})^2 = a$.
À chaque question, justifie la loi utilisée et précise la condition d'existence quand elle intervient.
1. Écris sous la forme d'une seule puissance de 2 : $A = \dfrac{2^3 \times 2^5}{2^4}$.
2. Calcule $B = 2^3 \times 4^3$ de deux façons différentes.
3. Calcule $C = 5^0 + 3^{-2}$ en donnant le résultat sous forme de fraction irréductible. Peut-on écrire $0^0 = 1$ ?
4. Simplifie $D = \sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}$.
5. Rends le dénominateur rationnel : $E = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $F = \dfrac{6}{\sqrt{3}}$.
6. Un élève écrit : « $\sqrt{9} + \sqrt{16} = \sqrt{25} = 5$ ». Explique son erreur, puis dis pour quelles valeurs de $a$ et $b$ l'égalité $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$ est vraie.
7. Un cube a une arête de longueur $a$. On double son arête. Par combien sont multipliés son volume et l'aire totale de ses faces ?