Fiche d'exercices de synthèse sur les racines carrées. Le fil conducteur : reconnaître une identité remarquable même quand elle est déguisée par un radical.
Rappels utiles : $(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}$, $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2}$, et $\left(\sqrt{n}\right)^{2} = n$.
Exercice 1. On donne $A = 3\sqrt{2} - 4$ et $B = 3\sqrt{2} + 4$. Calculer $A+B$, $A-B$, $A^{2}$, $B^{2}$, $A \times B$ et $A/B$.
Exercice 2. Factoriser :
$A = x^{2} - 2x\sqrt{3} + 3$ ; $B = 4x^{2} + 4x\sqrt{5} + 5$ ; $C = x^{2} - 4x\sqrt{7} + 28$
$D = 9x^{2} + 12x\sqrt{2} + 8$ ; $E = (x+2)^{2} - 4$ ; $F = \left(x - \sqrt{2}\right)^{2} - 18$
Exercice 3. $ABC$ est un triangle tel que $AB = 7 - \sqrt{5}$, $BC = 7 + \sqrt{5}$ et $AC = 6\sqrt{3}$ (en cm). Donner la nature du triangle $ABC$.
Exercice 4. On pose $X = \sqrt{8 - 3\sqrt{7}}$ et $Y = \sqrt{8 + 3\sqrt{7}}$.
1) Calculer $X^{2}$ et $Y^{2}$. 2) Calculer $X \cdot Y$. 3) On pose $S = X + Y$ ; calculer $S^{2}$ puis en déduire que $S = 3\sqrt{2}$.
Exercice 5. $RST$ est un triangle rectangle en $S$ tel que $RS = 3 + 2\sqrt{3}$ et $RT = 2\sqrt{13}$ (en cm). Calculer la longueur du côté $ST$.
Exercice 6. $x$ est un réel positif.
a) Développer et réduire $A = \left(3 - \sqrt{3}\right)^{2}$.
b) Factoriser $B = x^{2} - \left(12 - 6\sqrt{3}\right)$.