On considère la fraction rationnelle $F(x)=\dfrac{5x-4}{(x-1)(x+2)}$, définie pour tout réel $x$ différent de $1$ et de $-2$.
On se propose de l'écrire comme une somme d'éléments simples, puis d'exploiter cette écriture.
Justifier que la décomposition de $F$ est de la forme $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, où $A$ et $B$ sont deux réels.
Déterminer $A$ par la méthode du cache : multiplier l'égalité par $(x-1)$, puis poser $x=1$.
Déterminer $B$ de la même manière, puis écrire la décomposition complète de $F$.
Vérifier le résultat en donnant à $x$ la valeur $0$.
En déduire une primitive de $F$ sur l'intervalle $\left]1\,;\,+\infty\right[$.