Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système suivant :
$\begin{cases} 2x - y + 2z = -4 \\ x + y + 2z = -1 \\ 4x + y + 4z = -2 \end{cases}$
Le même système est résolu quatre fois, par quatre méthodes différentes. L'intérêt n'est pas le résultat — il est toujours le même — mais de voir ce que chaque méthode coûte et dans quel cas elle est la plus rapide.
Méthode 1 — la substitution. Isoler une inconnue dans l'une des équations et la reporter dans les deux autres.
Méthode 2 — l'addition, ou combinaison linéaire. Additionner ou soustraire des équations pour faire disparaître une inconnue.
Méthode 3 — la règle de Cramer. Écrire le système sous la forme $AX = B$ et calculer les déterminants.
Méthode 4 — le pivot de Gauss. Échelonner la matrice augmentée, puis remonter.