Un artisan fabrique et remplit différents récipients. On prendra $\pi \approx 3{,}14$ pour les valeurs approchées et on donnera d'abord les résultats exacts en fonction de $\pi$.
Formules utiles. Cylindre : $V = \pi r^2 h$, aire latérale $2\pi r h$, aire totale $2\pi r(r + h)$. Cône : $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$, aire latérale $\pi r \ell$, aire totale $\pi r(r + \ell)$ où $\ell = \sqrt{r^2 + h^2}$ est la génératrice. Boule : $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$, aire de la sphère $4\pi r^2$.
1. Un réservoir cylindrique a un rayon de base $r = 3$ cm et une hauteur $h = 10$ cm. Calcule son volume, puis une valeur approchée au dixième de cm³.
2. Ce réservoir doit être peint entièrement, dessus et dessous compris. Quelle surface l'artisan doit-il peindre ? Quelle part de cette surface représente la seule paroi latérale ?
3. Un tas de sable a la forme d'un cône de rayon $r = 3$ cm et de hauteur $h = 4$ cm. Calcule la longueur $\ell$ de sa génératrice.
4. Calcule le volume de ce cône, puis son aire totale.
5. On verse ce cône de sable dans un cylindre de même rayon et de même hauteur ($r = 3$ cm, $h = 4$ cm). Quelle fraction du cylindre est remplie ?
6. Une bille sphérique a un rayon de 3 cm. Calcule son volume et l'aire de sa surface. Que remarques-tu ?
7. L'artisan double toutes les dimensions de sa bille. Par combien sont multipliés son volume et sa surface ? Généralise.
8. Sans calculer, dis pour chaque expression s'il s'agit d'une longueur, d'une aire ou d'un volume : $2\pi r$, $\pi r^2 h$, $6S^2$, $2\pi r(r+h)$, $\tfrac{4}{3}\pi r^3$, $a + b + c$.