Collège · Mathématiques

Étude complète d'un cône de révolution

Un silo à grains a la forme d'un cône de révolution de rayon de base $r = 9$ cm et de hauteur $h = 12$ cm (maquette à l'échelle).

On rappelle les formules :

  • génératrice : $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$
  • volume : $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$
  • aire latérale : $\mathcal{A}_{lat}=\pi r l$
  • aire totale : $\mathcal{A}_{tot}=\pi r (l+r)$

Le triangle rectangle ci-dessous représente la coupe du cône : le rayon $r$ et la hauteur $h$ sont les côtés de l'angle droit, la génératrice $l$ est l'hypoténuse.

hrlS

Prends $\pi \approx 3{,}14$ pour les valeurs approchées et arrondis à l'unité.

  1. Calcule la génératrice $l$ de ce cône.

  2. Calcule le volume exact du cône, en fonction de $\pi$, puis sa valeur approchée.

  3. Calcule l'aire latérale du cône.

  4. Calcule l'aire totale du cône et vérifie qu'elle est bien la somme de l'aire latérale et de l'aire du disque de base.

  5. Quelle contenance, en litres, ce silo représente-t-il ? (On rappelle que 1 L = 1000 cm³.)

  6. On considère le cylindre qui a le même disque de base et la même hauteur que ce cône. Calcule son volume et compare-le à celui du cône.

  7. Un second cône a un volume de $100\pi$ cm³ et un rayon de 5 cm. Quelle est sa hauteur ?

  8. Un toit conique a un diamètre de 6 m et une hauteur de 4 m. Quelle surface de tôle faut-il pour le couvrir ? (Seule la surface latérale est couverte.)