Résoudre un système d'inéquations du second degré

De quoi s'agit-il

Un système d'inéquations du second degré réunit deux inéquations ou plus, du type :

$\begin{cases} x^{2} - 5x + 6 \geq 0 \\ 2x^{2} + 3x - 2 < 0 \end{cases}$

La solution du système est l'ensemble des valeurs de $x$ qui vérifient toutes les inéquations en même temps.

Le rappel indispensable : le signe d'un trinôme

Pour $ax^{2} + bx + c$ ayant deux racines :

• si $a > 0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles ;
• si $a < 0$, le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.

Une seule phrase à retenir : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines.

La méthode, en cinq temps

1. Résoudre chaque inéquation séparément.
2. Déterminer les racines de chaque trinôme — par factorisation si elle saute aux yeux, par le discriminant sinon.
3. Étudier le signe de chaque expression dans un tableau de signes.
4. Représenter les solutions sur une droite graduée.
5. Prendre l'intersection des solutions obtenues.