Factoriser par regroupement, résoudre avec des valeurs absolues

1. Factoriser par regroupement

Quand une expression comporte quatre termes et aucun facteur commun aux quatre, on la regroupe deux par deux. Chaque paire se factorise, et si les deux parenthèses obtenues sont identiques, on met cette parenthèse en facteur.

Cas de la somme. Dans ax + ay + bx + by, on lit a(x + y) + b(x + y), donc (a + b)(x + y).

Cas de la différence. Dans ax − ay + bx − by, on lit a(x − y) + b(x − y), donc (a + b)(x − y). Le facteur commun est ici (x − y) : c'est le signe intérieur qui change, pas celui de (a + b).

Attention à une confusion répandue. Certaines fiches écrivent ax − ay + bx − by = (a − b)(x + y). C'est faux, et un simple test le prouve : avec a = 2, b = 3, x = 5 et y = 1, le membre de gauche vaut 10 − 2 + 15 − 3 = 20, tandis que (2 − 3)(5 + 1) = −6. La forme exacte (a + b)(x − y) donne bien 5 × 4 = 20.

La méthode en trois temps

1. Regrouper les termes deux par deux, en veillant à ce que le regroupement fasse apparaître un facteur commun.
2. Mettre en facteur dans chaque paire, en sortant le signe s'il le faut.
3. Vérifier que les deux parenthèses sont identiques ; sinon, changer de regroupement.