Leçon
La dérivation : formules, règles et usage
Lycée · Mathématiques · par Technique Support
Ce qu'est la dérivée
La dérivée mesure le taux de variation d'une fonction. Géométriquement, $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.
On la note $f'(x)$, $\dfrac{dy}{dx}$ ou $y'$.
Le nombre dérivé
$f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$, lorsque cette limite existe.
Les dérivées usuelles
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^{n}$ | $nx^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^{2}}$ |
| $e^{x}$ | $e^{x}$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
Les règles de dérivation
- $(u + v)' = u' + v'$
- $(ku)' = k\,u'$, pour $k$ réel
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$, pour $v \neq 0$
- $(u^{n})' = n\,u^{n-1}u'$
- $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$, pour $u > 0$
- $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^{2}}$, pour $u \neq 0$
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