Vingt théorèmes de géométrie et leurs conditions d'application

Comment se sert-on d'un théorème ?

Un théorème n'est utilisable que si ses hypothèses sont vérifiées. La faute la plus coûteuse en devoir n'est presque jamais un calcul : c'est l'application d'un théorème hors de son domaine, ou l'usage d'une réciproque comme si elle allait de soi. Avant chaque application, on écrit les hypothèses, on vérifie qu'elles sont remplies, puis seulement on conclut.

1. Droites proportionnelles dans le triangle

Théorème de Thalès

Hypothèses : A, D, B alignés ; A, E, C alignés ; (DE) parallèle à (BC).

Conclusion : AD/AB = AE/AC = DE/BC.

Réciproque de Thalès

Hypothèses : A, D, B alignés ; A, E, C alignés ; AD/AB = AE/AC ; et les points rangés dans le même ordre sur les deux droites.

Conclusion : (DE) est parallèle à (BC).

Cette dernière condition d'ordre est systématiquement oubliée : sans elle, la réciproque est fausse, car en plaçant E de l'autre côté de A on conserve l'égalité des rapports de longueurs sans obtenir le parallélisme.

Théorème de la parallèle dans un triangle

Si une droite passe par un point d'un côté d'un triangle et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en un point qui le partage en deux segments proportionnels.

2. Pythagore

Le théorème

Hypothèse : le triangle est rectangle. Conclusion : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si l'angle droit est en B, alors AC² = AB² + BC².

L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit : c'est la seule chose à repérer avant d'écrire quoi que ce soit.

La réciproque

Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté.