Racines carrées : comparer, développer, simplifier √(a²) et encadrer

Comparer deux nombres positifs par leurs carrés

Sur les nombres positifs, élever au carré conserve l'ordre : pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$,

$a > b \iff a^2 > b^2$

C'est l'outil qui permet de comparer un radical à un entier sans calculatrice, puisque le carré fait disparaître la racine.

Exemple. Comparons $3\sqrt{2}$ et $4$. Les deux sont positifs, on calcule leurs carrés :

• $\left(3\sqrt{2}\right)^2 = 3^2 \times \left(\sqrt{2}\right)^2 = 9 \times 2 = 18$
• $4^2 = 16$

Comme $18 > 16$, on conclut $3\sqrt{2} > 4$.

Deux mises en garde. D'abord, $\left(3\sqrt{2}\right)^2$ vaut $18$ et non $6$ : le facteur devant la racine doit lui aussi être élevé au carré. Ensuite, cette méthode exige que les deux nombres soient positifs. Sur les négatifs elle s'inverse : $-3 > -5$ alors que $9 < 25$.

En déduire le signe d'une différence

De $4 < 3\sqrt{2}$, on retranche $3\sqrt{2}$ aux deux membres — ce qui ne change pas le sens d'une inégalité :

$4 - 3\sqrt{2} < 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 0$

Donc $4 - 3\sqrt{2}$ est un nombre négatif. Cette information, qui paraît anodine, est décisive pour la suite.

Développer avec des radicaux

Les identités remarquables s'appliquent normalement. Avec $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, $a = 4$ et $b = 3\sqrt{2}$ :

$\left(4 - 3\sqrt{2}\right)^2 = 16 - 24\sqrt{2} + 18 = 34 - 24\sqrt{2}$