Leçon
Puissances et radicaux : les lois et leurs conditions d'existence
Lycée · Mathématiques · par Technique Support
1. Les lois des puissances
Une puissance an est un produit répété : a est la base, n l'exposant. Les six lois ci-dessous se démontrent toutes à partir de cette définition.
| Loi | Énoncé | Condition | Exemple |
|---|---|---|---|
| Produit | am × an = am+n | a ≠ 0 | 23 × 22 = 25 = 32 |
| Quotient | am ÷ an = am−n | a ≠ 0 | 25 ÷ 23 = 22 = 4 |
| Puissance de puissance | (am)n = amn | a ≠ 0 | (32)3 = 36 = 729 |
| Produit de bases | (ab)n = anbn | — | 23 × 43 = 83 = 512 |
| Quotient de bases | (a/b)n = an/bn | b ≠ 0 | (2/5)2 = 4/25 |
| Exposant nul | a0 = 1 | a ≠ 0 | 50 = 1 |
| Exposant négatif | a−n = 1/an | a ≠ 0 | 2−3 = 1/8 |
Deux conditions qu'on oublie souvent
- a0 = 1 seulement si a ≠ 0. L'expression 00 n'est pas définie : elle viendrait d'un quotient 0n ÷ 0n, donc d'une division par zéro.
- a−n = 1/an seulement si a ≠ 0, pour la même raison.
Deux erreurs classiques
- L'exposant ne se distribue jamais sur une somme : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, et non a2 + b2. Vérification : (2 + 3)2 = 25, alors que 22 + 32 = 13.
- Confondre les deux règles de produit. Si les bases sont égales, on additionne les exposants (23 × 25 = 28) ; si ce sont les exposants qui sont égaux, on multiplie les bases (23 × 43 = 83).
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