Les rapports trigonométriques et leurs formules essentielles

1. Les six rapports dans un triangle rectangle

Soit un triangle rectangle et l'un de ses angles aigus. Par rapport à cet angle, on distingue le côté opposé, le côté adjacent et l'hypoténuse, qui est toujours le côté opposé à l'angle droit.

Le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA résume les trois premiers : Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent.

2. Les rapports réciproques

• cot θ = 1 ÷ tan θ
• sec θ = 1 ÷ cos θ
• csc θ = 1 ÷ sin θ

Piège de vocabulaire : la sécante est l'inverse du cosinus, et la cosécante l'inverse du sinus. Le préfixe « co » ne se lit donc pas comme on l'attendrait. Chacun de ces trois rapports n'existe que là où son dénominateur ne s'annule pas : sec θ n'a pas de sens pour θ = 90° ou 270°, cot θ et csc θ n'en ont pas pour θ = 0° ou 180°.

3. Les relations fondamentales

• sin²θ + cos²θ = 1, vraie pour tout angle sans exception.
• 1 + tan²θ = sec²θ, obtenue en divisant la précédente par cos²θ (donc avec cos θ ≠ 0).
• 1 + cot²θ = csc²θ, obtenue en divisant par sin²θ (donc avec sin θ ≠ 0).