Boule, coquille sphérique, hémisphère, prisme et pyramide : volumes et aires

La boule et la sphère

On appelle sphère la surface, et boule le solide plein qu'elle délimite. Pour un rayon r :

• Volume de la boule : ⁴⁄₃πr³
• Aire de la sphère : 4πr², soit quatre fois l'aire du disque de même rayon

Une sphère n'ayant pas de base, on ne distingue pas ici aire latérale et aire totale. Exemple avec r = 3 cm : volume 36π cm³, aire 36π cm². L'égalité des deux nombres est une coïncidence propre à r = 3, les unités n'étant pas les mêmes.

La coquille sphérique

Une sphère creuse est une coquille de rayon extérieur R et de rayon intérieur r, avec R > r.

• Volume de matière : ⁴⁄₃π(R³ − r³)
• Aire de la paroi extérieure : 4πR²
• Aire totale des deux parois : 4π(R² + r²)

Deux pièges. D'abord, (R − r)³ n'est jamais égal à R³ − r³ : avec R = 2 et r = 1, on obtient 1 d'un côté et 7 de l'autre. Ensuite, beaucoup de fiches ne donnent que 4πR² comme aire totale ; cette valeur ne couvre que l'extérieur de la coquille, et il faut y ajouter 4πr² dès que la paroi intérieure compte, par exemple pour peindre l'intérieur d'un réservoir.

L'hémisphère

C'est la moitié d'une boule, de rayon r.

• Volume : ²⁄₃πr³, soit la moitié de ⁴⁄₃πr³
• Aire de la surface courbe : 2πr², soit la moitié de 4πr²
• Aire totale : 3πr², la surface courbe plus le disque plat πr² qui la ferme