Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle

À quoi cela sert-il ?

Décomposer une fraction rationnelle, c'est la réécrire comme une somme de fractions plus simples, dont les dénominateurs sont les facteurs du dénominateur de départ. Cette réécriture est indispensable pour calculer certaines primitives, pour étudier des sommes ou pour effectuer des développements limités : chaque morceau se traite alors sans difficulté.

Étape 1 : factoriser le dénominateur

Tout commence par la factorisation la plus poussée possible du dénominateur dans ℝ, c'est-à-dire en facteurs du premier degré et en facteurs du second degré sans racine réelle. Par exemple x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1), ou x⁴ − 1 = (x − 1)(x + 1)(x² + 1).

Étape 2 : écrire la forme de la décomposition

C'est l'étape que l'on rate le plus souvent. La règle est mécanique :

• Un facteur du premier degré (x − a) donne un terme A/(x − a), à numérateur constant.
• Un facteur du premier degré élevé à la puissance n donne n termes, un pour chaque puissance de 1 à n. Ainsi (x − 1)² donne B/(x − 1) ET C/(x − 1)² : omettre le terme intermédiaire rend le système insoluble.
• Un facteur du second degré sans racine réelle donne un terme à numérateur du premier degré, de la forme (ax + b)/(x² + px + q).