Le triangle : somme des angles, inégalité triangulaire et hauteur d'un isocèle

1. La somme des angles vaut toujours 180°

Dans n'importe quel triangle, la somme des trois angles intérieurs vaut $180°$. Cette propriété, valable sans aucune condition, permet de calculer un angle dès que les deux autres sont connus.

Le cas du triangle rectangle

Si l'un des angles vaut $90°$, il ne reste que $180° - 90° = 90°$ à partager entre les deux autres. On en tire une règle très pratique :

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $90°$.

Exemple. Un angle aigu mesure $35°$ : l'autre mesure $90° - 35° = 55°$. On peut aussi passer par l'équation complète $90° + 35° + x = 180°$, qui donne $125° + x = 180°$, donc $x = 55°$.

Le cas d'un rapport donné

Quand deux angles sont donnés « dans le rapport $2 : 3$ », on ne connaît pas leurs mesures, seulement leur proportion. La technique consiste à introduire une inconnue auxiliaire et à les écrire $2x$ et $3x$ : le rapport $\frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$ est alors automatiquement respecté, quelle que soit la valeur de $x$.

Si le troisième angle mesure $60°$ :

$2x + 3x + 60° = 180° \quad \Longrightarrow \quad 5x = 120° \quad \Longrightarrow \quad x = 24°$

Les deux angles valent donc $2 \times 24 = 48°$ et $3 \times 24 = 72°$.

Double vérification : $48 + 72 + 60 = 180$ ✔ et $\frac{48}{72} = \frac{2}{3}$ ✔.