Formulaire du lycée : analyse, algèbre, trigonométrie, suites, exponentielle et logarithme

Pourquoi les conditions d'existence comptent autant que les formules

Un formulaire ne se retient pas ligne par ligne : chaque formule se retient avec sa condition d'application. Trois interdits expliquent presque toutes ces conditions : on ne divise pas par zéro, on ne prend pas la racine carrée d'un nombre négatif, on ne prend pas le logarithme d'un nombre négatif ou nul. Une formule recopiée sans sa condition est une formule à moitié fausse.

1. Analyse : limites et continuité

On suppose que f tend vers L et g vers μ quand x tend vers a, ces deux limites étant finies.

• Somme : f + g tend vers L + μ.
• Produit : f × g tend vers L × μ.
• Quotient : f/g tend vers L/μ, à condition que μ ≠ 0. Si μ = 0, le théorème ne dit plus rien : il faut étudier la situation à part (forme indéterminée 0/0, ou limite infinie dont on doit préciser le signe).
• Composée : si g tend vers b en a et si f est continue en b, alors f(g(x)) tend vers f(b). C'est la continuité de f qui autorise à faire entrer la limite à l'intérieur de f.
• Continuité : f est continue en a si et seulement si la limite de f en a existe et vaut f(a). Trois choses sont donc exigées à la fois : l'existence de f(a), l'existence de la limite, et leur égalité.

2. Algèbre

Identités remarquables

Deux contrôles infaillibles. D'abord le degré : dans le développement d'un cube, chaque terme doit être de degré 3 — un terme en 3ab³ serait de degré 4 et trahirait aussitôt une faute de recopie. Ensuite l'essai numérique : avec a = 2 et b = 3, (2 + 3)³ = 125 et 8 + 36 + 54 + 27 = 125.