Formulaire de terminale : les formules et, surtout, leurs conditions d'emploi

Une formule sans sa condition est un piège

Les fiches de révision présentent les formules dépouillées de leurs hypothèses, faute de place. C'est précisément ce qui coûte des points : la plupart des erreurs de copie ne viennent pas d'une formule mal retenue, mais d'une formule appliquée hors de son domaine de validité. Ce récapitulatif redonne chaque formule avec la condition qui la rend vraie.

1. Nombres complexes

• Forme algébrique : z = a + bi, avec a et b réels et i² = −1.
• Conjugué : z̄ = a − bi. Module : |z| = √(a² + b²), toujours réel positif.
• Propriétés : conj(z₁ + z₂) = z̄₁ + z̄₂ ; conj(z₁z₂) = z̄₁ × z̄₂ ; z × z̄ = |z|².
• Forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ) avec r = |z|, valable pour z non nul ; l'argument θ n'est défini qu'à 2π près.

2. Équations et inéquations du second degré

Pour ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0 : Δ = b² − 4ac.

Pour une inéquation, on trouve les racines, on dresse le tableau de signes, et l'on retient que le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, du signe contraire entre elles. Les crochets suivent le type d'inégalité : ouverts si elle est stricte, fermés si elle est large.

3. Étude de fonctions

• Nombre dérivé : f′(x) = lim [f(x + h) − f(x)]/h quand h → 0. On simplifie par h avant de faire tendre h vers 0.
• Interprétation : f′(x₀) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse x₀.
• f′ > 0 sur I ⇒ f croissante sur I ; f′ < 0 sur I ⇒ f décroissante sur I.

Le piège à connaître : dérivée nulle n'est pas extrémum

Beaucoup de fiches écrivent « f′(x₀) = 0 ⇔ extrémum en x₀ ». C'est faux. Seul un sens est vrai : si f est dérivable et admet un extrémum en un point intérieur x₀, alors f′(x₀) = 0. La réciproque tombe sur f(x) = x³ en x₀ = 0 : f′(0) = 0, et pourtant f est strictement croissante sur ℝ. On obtient une tangente horizontale sans extrémum, ce que l'on appelle un point d'inflexion. Pour conclure à un extrémum, il faut que f′ change de signe en x₀.