Triangle inscrit dans un cercle et théorème de Pythagore

Le triangle inscrit dans un demi-cercle

Quand un triangle est tracé à l'intérieur d'un cercle, avec ses trois sommets sur le cercle, on dit qu'il est inscrit dans ce cercle. Une propriété remarquable apparaît alors dès que l'un de ses côtés est un diamètre.

La propriété

Si un triangle est inscrit dans un cercle et si l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle, et l'angle droit se situe au sommet opposé à ce diamètre.

Autrement dit, dans un triangle $ABC$ inscrit dans un cercle de diamètre $[BC]$, l'angle droit est en $A$ — jamais en $B$ ni en $C$. Le repère à mémoriser : l'angle droit n'est pas sur le diamètre, il est en face du diamètre. Et le diamètre, qui est le côté opposé à l'angle droit, joue le rôle de l'hypoténuse.

La réciproque, tout aussi utile

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors il est inscrit dans le cercle de diamètre $[BC]$. Le centre de ce cercle est le milieu de $[BC]$, ce qui revient à dire que dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.