Leçon
Les quatre moyennes de deux nombres positifs
Lycée · Mathématiques · par Technique Support
Les quatre moyennes de deux nombres positifs
Pour deux réels strictement positifs x et y, on ne définit pas une seule moyenne, mais quatre. Chacune répond à une question différente, et elles se rangent toujours dans le même ordre.
Les définitions
| Nom | Notation | Formule |
|---|---|---|
| Moyenne harmonique | h | 2xy / (x + y) |
| Moyenne géométrique | g | √(xy) |
| Moyenne arithmétique | a | (x + y) / 2 |
| Moyenne quadratique | q | √((x2 + y2) / 2) |
L'inégalité fondamentale
Quels que soient x et y strictement positifs :
h ≤ g ≤ a ≤ q
c'est-à-dire 2xy/(x + y) ≤ √(xy) ≤ (x + y)/2 ≤ √((x2 + y2)/2).
Les quatre moyennes sont égales dans le seul cas où x = y. Dès que les deux nombres diffèrent, les inégalités sont strictes.
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