Le triangle rectangle : Pythagore, sa réciproque et les relations métriques

1. La propriété de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si ABC est rectangle en A, alors : BC² = AB² + AC².

L'hypoténuse est le côté OPPOSÉ à l'angle droit. C'est toujours le plus long des trois côtés : une hypoténuse plus courte qu'un côté de l'angle droit est le signe qu'un triangle est impossible.

Deux usages, deux opérations

• Pour calculer l'hypoténuse, on ADDITIONNE les carrés. Exemple : AB = 12 et AC = 16 donnent BC² = 144 + 256 = 400, donc BC = 20.
• Pour calculer un côté de l'angle droit, on SOUSTRAIT. Exemple : BC = 9 et AC = 5 donnent AB² = 81 − 25 = 56, donc AB = 2√14.

Pièges de calcul fréquents

• (2√10)² vaut 4 × 10 = 40, et non 20 : le facteur devant la racine s'élève aussi au carré.
• √20 doit être simplifié en 2√5 : on extrait le plus grand carré parfait.
• Additionner les longueurs au lieu des carrés (12 + 16 = 28 au lieu de 20) est l'erreur la plus courante.

2. La réciproque : ce triangle est-il rectangle ?

Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle, et l'angle droit se trouve au sommet opposé au plus grand côté.