L'encadrement : somme, différence, produit, inverse et valeur absolue

1. Définition

Encadrer un nombre réel x, c'est le placer entre deux nombres. On écrit a ≤ x ≤ b, ou a < x < b si les bornes sont exclues.

• a : borne inférieure
• b : borne supérieure
• x : nombre encadré

Exemples : 2 ≤ x ≤ 5 ; −3 < x < 7 ; −4 ≤ x < 1.

Un encadrement n'est pas une égalité : il ne donne pas la valeur de x, seulement l'intervalle où il se trouve.

2. Encadrement d'une somme

Si a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d, alors a + c ≤ x + y ≤ b + d.

On ajoute les bornes inférieures entre elles, puis les bornes supérieures entre elles. Aucune condition de signe n'est requise.

Exemple : 1 ≤ x ≤ 3 et 2 ≤ y ≤ 5 donnent 3 ≤ x + y ≤ 8.

3. Encadrement d'une différence

Si a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d, alors a − d ≤ x − y ≤ b − c.

Les bornes se croisent : pour la borne inférieure on soustrait la plus grande valeur de y (d), pour la borne supérieure la plus petite (c).