Le théorème de Thalès, sa réciproque et sa contraposée

Reconnaître une configuration de Thalès

Une configuration de Thalès se présente sous deux formes, qu'il faut savoir repérer d'un coup d'œil :

• en triangle — une droite parallèle à un côté coupe les deux autres, découpant un petit triangle dans un grand ;
• en papillon — deux droites se croisent en un point, et deux droites parallèles complètent la figure de part et d'autre de ce point.

Dans les deux cas, il y a un sommet commun — le sommet du triangle, ou le point d'intersection — d'où partent tous les segments qu'on va comparer.

Le théorème de Thalès : calculer une longueur

Si (MN) est parallèle à (BC) dans une configuration de sommet A, alors :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

On part toujours du sommet commun. Chaque rapport compare la petite figure à la grande : les deux premiers portent sur les côtés issus de A, le troisième sur les deux droites parallèles.

Méthode

1. Écrire l'égalité des trois rapports en entier.
2. Remplacer par les valeurs connues.
3. Ne garder que deux rapports : celui qui est entièrement connu, et celui qui contient la longueur cherchée.
4. Faire un produit en croix.