Résumé de géométrie : tout ce qu'il faut savoir sur le triangle

1. Les angles du triangle

Somme des angles

Dans tout triangle, la somme des trois angles intérieurs vaut 180°. Deux angles connus suffisent donc à déterminer le troisième : si A = 50° et B = 60°, alors C = 180° − 50° − 60° = 70°.

Angle extérieur

Un angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents. Il leur est donc strictement supérieur à chacun, puisqu'il vaut leur somme et qu'un angle de triangle est toujours strictement positif.

Exemple : si deux angles intérieurs mesurent 40° et 65°, l'angle extérieur opposé mesure 105°.

Deux parallèles coupées par une sécante

• Les angles correspondants sont égaux.
• Les angles alternes-internes sont égaux.
• Les angles opposés par le sommet sont égaux.

Les deux premières égalités exigent le parallélisme ; la troisième est vraie dans tous les cas.

2. Triangles particuliers

Triangle isocèle

Théorème : si deux côtés sont égaux, les angles opposés à ces côtés sont égaux. Ainsi AB = AC entraîne angle B = angle C.

Réciproque : si deux angles sont égaux, les côtés opposés à ces angles sont égaux. Ainsi angle B = angle C entraîne AB = AC.

Triangle équilatéral

Ses trois côtés sont égaux, donc ses trois angles aussi : chacun mesure 60°.

Triangle rectangle : théorème de Pythagore

Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Dans un triangle ABC rectangle en B, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, c'est-à-dire [AC] :

AC² = AB² + BC²

Exemple : si AB = 6 et BC = 8, alors AC² = 36 + 64 = 100 et AC = 10.

3. Rapports trigonométriques dans un triangle rectangle

Les trois rapports se définissent par rapport à l'angle considéré, jamais par le nom des lettres. Pour un angle aigu :