Les huit fonctions usuelles : propriétés, variations et courbes

Pourquoi ces huit fonctions

Presque toutes les fonctions rencontrées au lycée se ramènent à huit modèles de base. Les connaître, c'est pouvoir prévoir l'allure d'une courbe sans calculer un seul point : il suffit d'identifier la famille, puis de lire les quelques paramètres qui la déterminent.

1. La fonction affine

Elle s'écrit f(x) = ax + b. Sa courbe est une droite d'équation y = ax + b, d'ordonnée à l'origine b.

• Si a > 0, f est strictement croissante sur ℝ.
• Si a < 0, f est strictement décroissante sur ℝ.
• Si a = 0, f est constante : la droite est horizontale. C'est pour écarter ce cas que l'on ajoute souvent la condition a ≠ 0 avant de dresser un tableau de variations.

Le coefficient b ne joue aucun rôle dans le sens de variation : il translate seulement la droite vers le haut ou vers le bas.

2. La fonction quadratique (du second degré)

Elle s'écrit f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0. Sa courbe est une parabole.

• Sommet : Ω(−b/(2a) ; f(−b/(2a))).
• Axe de symétrie : la droite verticale d'équation x = −b/(2a).
• Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut : f décroît puis croît, le sommet est un minimum.
• Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas : f croît puis décroît, le sommet est un maximum.

Attention : changer le signe de a ne retourne pas seulement la parabole, cela déplace aussi le sommet, puisque son abscisse −b/(2a) dépend de a.

3. La fonction rationnelle (homographique)

Elle s'écrit f(x) = (ax + b)/(cx + d), avec deux conditions : c ≠ 0 et Δ = ad − bc ≠ 0. Sa courbe est une hyperbole à deux branches.

• Ensemble de définition : ℝ privé de −d/c, valeur qui annule le dénominateur.
• Asymptote verticale : x = −d/c. Asymptote horizontale : y = a/c.
• Centre de symétrie : Ω(−d/c ; a/c), intersection des deux asymptotes. Ce point n'appartient jamais à la courbe.
• La dérivée vaut Δ/(cx + d)² : son signe est donc celui de Δ. Si Δ > 0, f croît sur chacun des deux intervalles ; si Δ < 0, elle y décroît.