Formulaire d'algèbre : identités, second degré, logarithmes et suites arithmétiques
Lycée · Mathématiques · par Technique Support
1. Les identités remarquables
| Identité | Développement |
|---|---|
| (a + b)2 | a2 + 2ab + b2 |
| (a − b)2 | a2 − 2ab + b2 |
| (a + b)(a − b) | a2 − b2 |
Dans le carré d'une différence, le dernier terme reste positif : c'est (−b)2 = +b2. Seul le double produit change de signe.
L'erreur à ne jamais commettre
(a + b)2 n'est pas a2 + b2. Le double produit 2ab manque. Contre-exemple : (2 + 3)2 = 25, alors que 22 + 32 = 13.
Ce que ces identités font gagner
- 101 × 99 = (100 + 1)(100 − 1) = 10 000 − 1 = 9 999
- 472 − 432 = (47 + 43)(47 − 43) = 90 × 4 = 360
- x2 − 6x + 9 = (x − 3)2, factorisation immédiate
2. Les règles des exposants
| Règle | Condition |
|---|---|
| xa × xb = xa+b | — |
| xa ÷ xb = xa−b | x ≠ 0 |
| (xa)b = xab | — |
| x−n = 1 ÷ xn | x ≠ 0 |
| x0 = 1 | x ≠ 0 |
Les trois dernières règles reposent sur une division par une puissance de x : elles supposent donc x non nul. En particulier, 00 n'est pas défini.
3. L'équation du second degré
Forme standard : ax2 + bx + c = 0, avec a ≠ 0. Si a = 0, l'équation devient bx + c = 0, du premier degré, et la formule des racines n'a plus de sens puisqu'on diviserait par 2a = 0.
Discriminant : Δ = b2 − 4ac.
Racines (lorsque Δ ≥ 0) : x = (−b ± √Δ) ÷ (2a).
La discussion selon le signe de Δ
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