Les nombres complexes : forme algébrique et opérations

Définition

Un nombre complexe s'écrit sous la forme :

$z = a + bi$

• $a$ est la partie réelle, notée $\mathrm{Re}(z)$ ;
• $b$ est la partie imaginaire, notée $\mathrm{Im}(z)$ — c'est un nombre réel, pas $bi$ ;
• $i$ est l'unité imaginaire, définie par $i^{2} = -1$.

Exemples : $3 + 2i$, $-5 + i$, $4 - 7i$.

Égalité

$a + bi = c + di$ si et seulement si $a = c$ ET $b = d$. Une égalité entre complexes équivaut donc à deux égalités entre réels — c'est le principe d'identification, très utilisé dans les exercices.

Formes particulières

• Un nombre réel s'écrit $a + 0i$ ;
• un imaginaire pur s'écrit $0 + bi$, avec $b \neq 0$.

Les opérations

Addition et soustraction

$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$