Leçon
Toutes les règles de calcul sur les puissances
Collège · Mathématiques · par Technique Support
Ce qu'est une puissance
Pour $n$ entier positif, $x^n$ désigne le produit de $n$ facteurs égaux à $x$. Toutes les règles qui suivent découlent de cette seule définition : si tu les oublies, réécris le produit en entier et compte les facteurs.
Les six règles de base
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Puissance d'un produit | $(xy)^n = x^n y^n$ | $(2x^2y)^3 = 8x^6y^3$ |
| Puissance d'un quotient | $\left(\dfrac{x}{y}\right)^n = \dfrac{x^n}{y^n}$ | $\left(\dfrac{6}{5}\right)^3 = \dfrac{216}{125}$ |
| Puissance d'une puissance | $(x^m)^n = x^{m \times n}$ | $(a^3)^4 = a^{12}$ |
| Produit de puissances | $x^m \times x^n = x^{m+n}$ | $a^6 \times a^4 = a^{10}$ |
| Quotient de puissances | $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ | $\dfrac{a^{10}}{a^3} = a^7$ |
| Exposant négatif | $x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$ | $(2x)^{-2} = \dfrac{1}{4x^2}$ |
Le cas de l'exposant zéro
Pour tout $x \neq 0$, on a $x^0 = 1$. Ce n'est pas une convention arbitraire : elle découle de la règle du quotient, puisque $\dfrac{x^n}{x^n} = x^{n-n} = x^0$, et qu'un nombre divisé par lui-même vaut 1. La condition $x \neq 0$ est indispensable, car $0^0$ n'est pas défini.
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