Le triangle : classification, théorèmes et formules d'aire
Collège · Mathématiques · par Technique Support
1. Définition et somme des angles
Un triangle est un polygone qui possède 3 côtés, 3 sommets et 3 angles.
Dans tout triangle du plan, la somme des angles intérieurs vaut toujours 180° :
 + B̂ + Ĉ = 180°
Conséquence immédiate : un triangle ne peut contenir ni deux angles droits, ni deux angles obtus, et deux angles connus déterminent toujours le troisième.
2. Classification des triangles
Selon les côtés
| Nom | Côtés | Propriété |
|---|---|---|
| Équilatéral | 3 côtés égaux | 3 angles égaux à 60°, 3 axes de symétrie |
| Isocèle | 2 côtés égaux | Angles à la base égaux, 1 axe de symétrie |
| Scalène (quelconque) | 3 côtés différents | Aucun angle égal, aucun axe de symétrie |
Selon les angles
| Nom | Angles |
|---|---|
| Rectangle | Un angle droit (90°) |
| Acutangle | Les trois angles aigus (< 90°) |
| Obtusangle | Un angle obtus (> 90°) |
Les deux classifications sont indépendantes : un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle, ou rectangle et scalène.
3. L'inégalité triangulaire
Dans tout triangle, la longueur d'un côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres :
- a < b + c
- b < a + c
- c < a + b
Conséquence : la valeur absolue de la différence de deux côtés est strictement inférieure au troisième, soit |b − c| < a. Autrement dit, un côté est toujours compris strictement entre la différence et la somme des deux autres.
4. Théorème de Pythagore
Si le triangle ABC est rectangle en B, alors AC² = AB² + BC². Le côté [AC], opposé à l'angle droit, s'appelle l'hypoténuse : c'est toujours le plus grand côté.
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