Trigonométrie : relation fondamentale, duplication, tangente et sécante

1. Le cercle trigonométrique, source de tout

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre $O$ et de rayon 1. Un réel $\alpha$ y repère un point $M$, et l'on définit :

$M(\cos\alpha\,;\, \sin\alpha)$

Le cosinus est l'abscisse, le sinus est l'ordonnée. Tout le reste en découle.

La relation fondamentale

Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses. Le triangle $OMH$ est rectangle en $H$, et le théorème de Pythagore donne $OM^2 = OH^2 + HM^2$. Or $OM = 1$ (rayon), $OH = |\cos\alpha|$ et $HM = |\sin\alpha|$. En élevant au carré, les valeurs absolues disparaissent :

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Cette égalité est vraie pour tout réel $\alpha$, dans les quatre quadrants : seuls les signes de $\cos\alpha$ et $\sin\alpha$ changent d'un quadrant à l'autre, et le carré les efface.

Son usage le plus courant

Elle sert à passer du sinus au cosinus, ou l'inverse :

$\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$

Le signe $\pm$ n'est levé que par la connaissance du quadrant. Exemple : si $\sin x = \dfrac{3}{5}$ et $x$ est au premier quadrant, alors $\cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, et comme le cosinus est positif au premier quadrant, $\cos x = \dfrac{4}{5}$.