Leçon
Fiche de référence d'algèbre : identités, exposants, fractions et équations
Lycée · Mathématiques · par Technique Support
1. Identités remarquables de base
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
- (a + b)(a − b) = a2 − b2
- (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
- (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab
- (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
Le double produit est ce que l'on oublie le plus souvent : (a + b)2 n'est jamais égal à a2 + b2. Un test numérique rapide (a = 3, b = 4) suffit à s'en convaincre.
2. Identités de degré 3
- (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
- a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
- a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
- a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)
Contrôle de sécurité : dans un développement de (a + b)3, tous les termes doivent être de degré total 3. Un terme comme 3ab3 serait de degré 4 et signalerait une faute de copie.
3. Règles des exposants
| Règle | Condition |
|---|---|
| am × an = am+n | — |
| am ÷ an = am−n | a ≠ 0 |
| (am)n = amn | — |
| (ab)n = anbn | — |
| (a ÷ b)n = an ÷ bn | b ≠ 0 |
| a0 = 1 | a ≠ 0 |
| a−n = 1 ÷ an | a ≠ 0 |
La puissance se distribue sur un produit et sur un quotient, jamais sur une somme.
4. Fractions algébriques
- a/b + c/d = (ad + bc) ÷ (bd)
- a/b − c/d = (ad − bc) ÷ (bd)
- a/b × c/d = (ac) ÷ (bd)
- a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (ad) ÷ (bc), avec b ≠ 0, d ≠ 0 et c ≠ 0
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. Les dénominateurs doivent toujours être non nuls, et le diviseur également.
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