Reconnaître une figure avec les nombres complexes
Lycée · Mathématiques · par Technique Support
Deux outils, et deux seulement
Dans le plan complexe, on reconnaît une figure à partir des affixes de ses sommets en n'utilisant que deux outils, appliqués à des différences d'affixes.
- Le module mesure une longueur : si M a pour affixe zM et N pour affixe zN, alors MN = |zN − zM|.
- L'argument mesure un angle : arg((zC − zA) / (zB − zA)) est une mesure de l'angle orienté formé par les vecteurs AB et AC.
Une égalité de vecteurs complète l'outillage : le vecteur MN a pour affixe zN − zM, donc deux vecteurs sont égaux exactement quand les différences d'affixes correspondantes le sont.
Condition d'existence à ne jamais oublier
Le quotient (zC − zA) / (zB − zA) n'existe que si zB ≠ zA, c'est-à-dire B ≠ A. De même, parler d'un triangle ABC ou d'un quadrilatère ABCD suppose les sommets deux à deux distincts et non alignés.
Les quadrilatères
Tout part du parallélogramme ; les autres quadrilatères s'obtiennent en lui ajoutant une condition.
| Nature | Écriture vectorielle | Écriture complexe |
|---|---|---|
| ABCD est un parallélogramme | AB = DC, ou [AC] et [BD] ont le même milieu | zB − zA = zC − zD, ou (zA + zC)/2 = (zB + zD)/2 |
| ABCD est un rectangle | parallélogramme, et un angle droit : (AB, AD) = ±π/2 [2π] ; ou parallélogramme et AC = BD | zB − zA = zC − zD et arg((zD − zA)/(zB − zA)) = ±π/2 [2π] ; ou |zC − zA| = |zD − zB| |
| ABCD est un losange | parallélogramme et AB = AD ; ou parallélogramme et (AC) ⊥ (BD) | zB − zA = zC − zD et |zB − zA| = |zD − zA| ; ou arg((zC − zA)/(zB − zD)) = ±π/2 [2π] |
| ABCD est un carré | parallélogramme, AB = AD et (AB, AD) = ±π/2 [2π] | zB − zA = zC − zD et (zB − zA)/(zD − zA) = ±i |
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