L'application affine : coefficient directeur, sens de variation et expression

Qu'est-ce qu'une application affine ?

Une application affine est une application $f$ qui s'écrit sous la forme

$f(x) = ax + b$

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels fixés. On appelle $a$ le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine. Sa représentation graphique est toujours une droite.

Deux cas particuliers méritent d'être nommés : si $b = 0$, l'application est linéaire et sa droite passe par l'origine ; si $a = 0$, l'application est constante et sa droite est horizontale.

Le coefficient directeur se calcule à partir de deux points

Si l'on connaît deux images $f(x_1)$ et $f(x_2)$, le coefficient directeur s'obtient par le taux d'accroissement :

$a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Exemple. Si $f(-2) = 8$ et $f(1) = 2$ :

$a = \dfrac{2 - 8}{1 - (-2)} = \dfrac{-6}{3} = -2$

Le piège du dénominateur : $1 - (-2)$ vaut $1 + 2 = 3$, et non $-1$. Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé. Une faute ici change complètement le résultat.

Remarquez aussi que l'ordre des deux points n'a aucune importance : $\dfrac{8 - 2}{-2 - 1} = \dfrac{6}{-3} = -2$ donne bien la même valeur, à condition d'écrire les images et les antécédents dans le même ordre en haut et en bas.