Racines carrées : simplifier et encadrer

Les trois propriétés à retenir

Pour $a$ et $b$ deux réels positifs :

• $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ — exemple : $\sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
• $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$, avec $b$ non nul — exemple : $\dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10}$
• $\sqrt{a^{2}} = \left(\sqrt{a}\right)^{2} = a$ — exemple : $\sqrt{6^{2}} = 6$

Attention : il n'existe aucune propriété semblable pour l'addition. $\sqrt{a + b}$ n'est pas $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Simplifier une racine : passer par les facteurs premiers

Écrire $\sqrt{720}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible revient à sortir de la racine tous les carrés qu'elle contient. On décompose donc :