Formulaire essentiel : algèbre, second degré, trigonométrie, géométrie et suites arithmétiques
Lycée · Mathématiques · par Technique Support
1. Identités remarquables
Trois égalités servent en permanence, aussi bien pour développer que pour factoriser. Elles sont vraies pour tous les nombres a et b.
| Forme factorisée | Forme développée |
|---|---|
| (a + b)2 | a2 + 2ab + b2 |
| (a − b)2 | a2 − 2ab + b2 |
| (a + b)(a − b) | a2 − b2 |
L'erreur la plus fréquente consiste à écrire (a + b)2 = a2 + b2 en oubliant le double produit 2ab. Notez aussi que a2 − b2 se factorise, mais que a2 + b2 ne se factorise pas dans les nombres réels.
Usage en calcul mental : 1022 = (100 + 2)2 = 10 404 ; 512 − 492 = (51 + 49)(51 − 49) = 200.
2. Équation du second degré
Une équation du second degré s'écrit sous la forme générale :
ax2 + bx + c = 0, avec a ≠ 0
La condition a ≠ 0 n'est pas un détail : si a était nul, l'équation deviendrait du premier degré et la formule ci-dessous diviserait par zéro.
On calcule d'abord le discriminant Δ = b2 − 4ac, puis :
- si Δ > 0, l'équation a deux solutions réelles : x = (−b ± √Δ) / (2a) ;
- si Δ = 0, une seule solution réelle (dite double) : x = −b / (2a) ;
- si Δ < 0, aucune solution réelle, car la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les réels.
Exemple. x2 − 5x + 6 = 0 : Δ = 25 − 24 = 1, les solutions sont (5 + 1)/2 = 3 et (5 − 1)/2 = 2.
3. Trigonométrie
Dans un triangle rectangle
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