Formulaire essentiel : algèbre, second degré, trigonométrie, géométrie et suites arithmétiques

1. Identités remarquables

Trois égalités servent en permanence, aussi bien pour développer que pour factoriser. Elles sont vraies pour tous les nombres a et b.

L'erreur la plus fréquente consiste à écrire (a + b)² = a² + b² en oubliant le double produit 2ab. Notez aussi que a² − b² se factorise, mais que a² + b² ne se factorise pas dans les nombres réels.

Usage en calcul mental : 102² = (100 + 2)² = 10 404 ; 51² − 49² = (51 + 49)(51 − 49) = 200.

2. Équation du second degré

Une équation du second degré s'écrit sous la forme générale :

ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0

La condition a ≠ 0 n'est pas un détail : si a était nul, l'équation deviendrait du premier degré et la formule ci-dessous diviserait par zéro.

On calcule d'abord le discriminant Δ = b² − 4ac, puis :

• si Δ > 0, l'équation a deux solutions réelles : x = (−b ± √Δ) / (2a) ;
• si Δ = 0, une seule solution réelle (dite double) : x = −b / (2a) ;
• si Δ < 0, aucune solution réelle, car la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les réels.

Exemple. x² − 5x + 6 = 0 : Δ = 25 − 24 = 1, les solutions sont (5 + 1)/2 = 3 et (5 − 1)/2 = 2.

3. Trigonométrie

Dans un triangle rectangle