Les théorèmes et formules à connaître absolument au lycée

Une fiche de secours pour toute l'année

Voici, regroupées par domaine, les propriétés qui reviennent le plus souvent dans les exercices de lycée. Chacune est donnée avec ses conditions d'emploi : une formule appliquée hors de son domaine de validité conduit à un résultat faux, même si le calcul est mené correctement.

1. Fonctions et analyse

• Limite d'une somme : si f tend vers L et g vers μ quand x tend vers a, alors f + g tend vers L + μ.
• Limite d'un produit : dans les mêmes conditions, f × g tend vers L × μ.
• Limite d'un quotient : f/g tend vers L/μ, à condition que μ ≠ 0. Si μ = 0, on est devant un cas particulier à traiter séparément.
• Limite d'une composée : si g tend vers b quand x tend vers a, et si f est continue en b, alors f(g(x)) tend vers f(b).
• Continuité : f est continue en a lorsque la limite de f(x) quand x tend vers a existe et vaut f(a).
• Dérivée d'une somme : (f + g)' = f' + g'.
• Dérivée d'un produit : (f · g)' = f'·g + f·g'. Ce n'est pas le produit des dérivées.

2. Algèbre : les identités remarquables

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• a² − b² = (a − b)(a + b)
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Racines carrées

• √(ab) = √a × √b, pour a ≥ 0 et b ≥ 0.
• √(a/b) = √a ÷ √b, pour a ≥ 0 et b > 0 : b doit être strictement positif, à la fois parce qu'il est sous une racine et parce qu'il est au dénominateur.