Les conditions de validité des formules du Bac

Une formule ne se retient jamais seule

Les fiches de révision présentent les formules du programme comme des égalités toutes prêtes. Elles le sont, mais chacune n'est vraie que sur un domaine, et c'est presque toujours la condition oubliée qui fait perdre les points, pas la formule elle-même. Cette leçon range les conditions par cause : il n'y en a que quatre.

Cause 1 : un dénominateur qui s'annule

• Dérivée d'un quotient : (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², à condition que v ≠ 0.
• Somme d'une suite géométrique : Sₙ = u₀(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q), à condition que q ≠ 1. Si q = 1, tous les termes sont égaux et la somme de u₀ à uₙ vaut (n + 1)u₀.
• Primitive d'une puissance : ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, à condition que n ≠ −1. Le cas n = −1 se traite à part : ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.
• Raison d'une suite géométrique : q = uₙ₊₁/uₙ, à condition que uₙ ≠ 0.
• Probabilité conditionnelle : P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), à condition que P(B) ≠ 0 : on ne conditionne pas par un événement impossible.
• Tangente : tan x = sin x / cos x, à condition que cos x ≠ 0, donc pour x ≠ π/2 + kπ.

Cause 2 : une racine carrée

• (√a)² = a et √(ab) = √a × √b exigent a ≥ 0 et b ≥ 0. Sur a = −4 et b = −9, le membre de gauche vaut 6 et celui de droite n'existe pas.
• Équation du second degré : x = (−b ± √Δ)/(2a) suppose a ≠ 0, mais aussi Δ ≥ 0. Cette dernière condition est presque toujours absente des fiches. Si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle ; si Δ = 0, elle a une solution double −b/(2a).